«Ужасающее число»: как разобраться в устройстве мира с помощью математики

Настоящая магия

Возьмите миллиард. Отнимите 1. Сколько осталось?
Вам незачем размышлять, результат тут же появляется у вас в голове: 999 999 999. Его даже проще представить, чем произнести.
Это кажется вам очевидным — но это не для всех так.

Жителю Древнего Рима это было бы совершенно неочевидно. В классической латыни нет слова «миллиард» (как и «миллион»). Чтобы передать это понятие, проще всего выразить его как произведение: «тысячу умножить на тысячу умножить на тысячу». Пожалуй, римлянин эпохи Юлия Цезаря смог бы это понять, хотя от такого у него бы уже слегка разболелась голова. Но если бы вы сказали ему, что способны взять это число, вычесть из него 1 и немедленно увидеть у себя в голове результат, он бы вас больше не слушал.
Он принял бы вас за сошедшего с ума ученого. Попробуйте написать 999 999 999 римскими цифрами — у вас будут большие проблемы. Для того, кто знает только римские цифры, 999 999 999 не просто большое число, оторванное от повседневной жизни. Это число, которое сложно написать. Головокружительное, ужасающее число, которому невозможно взглянуть в лицо. Сама мысль, что кто-то может мгновенно «увидеть» его в точности и без усилий, нелепа.

И римляне не самый экстремальный случай. Они как раз уже весьма продвинулись в понимании чисел.

Традиционная система счета у некоторых племен австралийских аборигенов основана на частях тела. От одного до пяти считают на пальцах, потом поднимаются выше по руке. Шесть — это запястье. Семь — предплечье. Восемь — локоть, а девять — бицепс. Дойдя до десяти, то есть до плеча, продолжают считать, поднимаясь еще выше. Число двенадцать — это мочка уха.

Если каждому числу должна соответствовать часть тела, хватит ли вам смелости дойти до миллиарда?

У других народов охотников-собирателей системы счисления еще более просты. Некоторым известны только числа один, два, три, четыре, пять и универсальное число, означающее «много». В языке Амазонии пирахан есть слово, чтобы сказать «один», и слово, чтобы сказать «два», но не существует слова, чтобы сказать «три». Три — это уже много.

Если человек, который так видит мир, обнаружит, что существует разница между 25 и 26 и ее можно точно выразить, — это должно стать для него очень мощным духовным опытом, сравнимым с ощущениями студента-математика, узнавшего, что существует несколько уровней бесконечности, о которых можно вполне точно рассуждать.

Обман?

А вот житель Древнего Рима сразу увидел бы различие между XXV и XXVI. Но ваша ловкость в обращении с большими числами создала бы у него впечатление, что у вас сверхъестественные способности к вычислениям.

Вы улыбаетесь при этой мысли, так как в глубине души прекрасно знаете, что это обман: никаких сверхъестественных способностей у вас нет.

А вы уверены?

Если вы представляете себе талантливых вычислителей мутантами, наделенными волшебными способностями, и думаете, что в голове у них компьютер, позволяющий сверхбыстро считать с помощью известных вам методов, вы ошибаетесь.

По сути, одаренные вычислители — это что-то вроде волшебников и Деда Мороза: на самом деле их не существует. Когда вы думаете, что видите Деда Мороза, — это не настоящий Дед Мороз, а просто какой-то человек, переодетый

Дедом Морозом.
Когда вы думаете, что видите волшебника, — это не настоящий волшебник, а просто иллюзионист, то есть человек, который знает разные штуки, способные создать иллюзию, будто он наделен магическими способностями.

Когда вы думаете, что видите уникально одаренного вычислителя, — это никакой не одаренный вычислитель, а просто человек, который умеет так видеть числа, что операции, которые для вас сложны и практически немыслимы, становятся для него простыми и даже очевидными.

Истина в том, что по природе мы все совершенно не умеем считать в уме, если только не владеем интуитивным способом радикально упростить счет и «увидеть» результат.

Десятичная запись, основанная на арабских цифрах, и есть тот фокус, который позволяет вам считать определенные результаты очевидными. Основное отличие между одаренными вычислителями и вами в том, что их арсенал фокусов обширнее вашего и они более привычны к играм с ним.

Как понять по-настоящему

Система десятичной записи чисел кажется вам настолько очевидной, что вы уже не помните, что вам пришлось ее изучать. Всё как с ложкой. Вы пользуетесь ею не задумываясь, словно это продолжение вашего тела. Когда вы видите 999 999 999, то считаете, что видите непосредственно число, и даже не отдаете себе отчета в том, что видите его с помощью инструмента.

А ведь десятичная запись — чисто человеческое изобретение. Это больше, чем система записи, — это дверь в состояние сознания, где целые числа, как бы велики они ни были, становятся конкретными и точными объектами. А заодно становится очевидностью сама бесконечность целых чисел.

Что-то ранее немыслимое вдруг становится очевидным — вот то самое действие, которое математика производит с вашим мозгом. Это восхитительное ощущение и сильнейшее удовольствие.

В детстве вы гордились, что умеете считать до 10, затем до 20, затем до 100. Это позволяло вам от души повоображать во дворе. Чтобы повыпендриваться еще больше, вы хотели бы узнать самое большое число на свете.

По сути, ваше представление о числах было не очень далеко от представления охотников-собирателей, которые умеют считать только до двух или до пяти и твердо убеждены, что следующее число — «много» — и есть самое большое число на свете.

Однажды вы поняли, что ни одно число не может быть самым большим. Даже если вы могли бы прийти к этому выводу другим путем, десятичная запись показала вам короткую дорогу. Вы знаете, что за каждым числом следует другое. Вы можете видеть последовательность чисел в виде крутящегося счетчика и знаете, что этот счетчик может крутиться бесконечно. Нет предела, нет какого-то особого числа, после которого счетчик остановится.

На протяжении 99% истории человечества никто не научился видеть у себя в голове крутящийся счетчик чисел.

Счетчик, крутящийся у вас в голове, — коллективное творчество великих математиков, которые с доисторических времен до Средневековья формировали образ чисел, знакомый нам сегодня.

Этот образ не от природы. Он не был записан в вашем теле при рождении. В какой-то степени он произволен — мы могли бы выбрать другую систему для записи чисел, и вы видели бы их иначе.

Более 4000 лет назад вавилоняне придумали шестидесятеричную систему: они записывали числа при основании 60, а не 10. Вавилонская математика была самой продвинутой для своего времени. И ваше мысленное представление о часах, минутах и секундах носит очень глубокий отпечаток их понимания чисел.

А вот что действительно от природы — так это ваша способность усваивать абстрактную математику и понимать ее по-настоящему, то есть перестраивать свой мозг так, чтобы эта самая математика действительно стала частью вас.

Вы думаете, что видите число 999 999 999. В реальности вы расшифровываете абстрактное и сложное математическое понятие. Вы расшифровываете его с безупречной легкостью, мгновенно, не осознавая этого. Целые числа не были вашим родным языком, но вы стали билингвом.

Вот как выглядит удачное усвоение математического понятия. И если пример кажется вам идиотским — это именно потому, что вы действительно его поняли.

Настоящей магии не существует

В начале карьеры молодые математики часто чувствуют себя самозванцами.

Мне прекрасно знакомо это чувство, и в моем случае оно казалось полностью оправданным. Расчеты в моей диссертации были настолько очевидны, что это граничило с мошенничеством. Мои теоремы всегда были наивными, и их доказательство никогда не создавало реальных сложностей.

Меня окружали толпы очень умных людей, занимавшихся очень трудной математикой, в которой я не понимал ничего.

Глубокие и сложные статьи мне так и не удавалось прочесть. А если какие-то и удавалось, то лишь потому, что по сути они были проще других.

Мне хотелось уметь заниматься настоящей математикой — по-настоящему сложной. Все, что мне удавалось понять, было простой математикой, математикой для чайников.

В моем изложении это звучит по-дурацки, но мне реально понадобились годы, прежде чем я осознал, что это лишь оптическая иллюзия. Линия горизонта перемещалась вместе со мной. Она всегда соответствовала моему уровню.

Настоящей магии не существует. Стоит вам научиться волшебному трюку, как он перестает быть волшебным. Это, возможно, печально, но придется привыкнуть.

Если математика, которую вы понимаете, кажется вам слишком легкой — это не потому, что она легкая, а потому, что вы ее понимаете.