Дмитрий Дагаев: «Нет ничего лучшего, чем обычное голосование большинством»

Результаты исследований, которые сегодня будут нами рассмотрены, с одной стороны, являются жемчужиной теории общественного выбора, с другой стороны, связаны с достаточно тонкими математическими моментами. Потому что теорема Мэя и теорема Эрроу – это серьезные математические результаты, которые несут в себе, в отличие от большой части различных экономических моделей, еще и самостоятельную внутреннюю красоту. Тем не менее, сегодня я попробую рассказать про это, не произнеся ни одной формулы и ни одного строгого математического определения.

Два решения

Итак, про что будет сегодняшняя лекция. У нас есть несколько людей, которые имеют разные предпочтения, и нам нужно каким-то образом построить предпочтения всего общества. Представим совершенно абстрактный диалог, который мог бы случиться, например, в лекционной аудитории между несколькими студентами. Один из студентов хочет открыть окно и спрашивает всех остальных: «Никто не возражает, если я открою это окно?». Другой студент говорит: «Будет сквозняк. Пожалуйста, не открывай, я простужусь». И первый студент отвечает: «Окей». Что произошло?

В момент этого диалога студенты попытались построить общественные предпочтения на основе своих собственных предпочтений относительно того, должно быть открыто окно или нет. На самом деле, это не самый очевидный способ построить эти предпочтения. Потому что вопрос, который задал первый студент «никто не возражает, если я открою окно?» подразумевает, что, если существует, по крайней мере, один человек, который возражает против этого, то окно в итоге открыто не будет.

Теперь представим второй диалог, который мог прозвучать в той же самой студенческой аудитории. Учитель объявляет о том, что перед экзаменом собирается провести консультацию и предлагает на выбор две даты – пятницу и субботу. При этом ему все равно, в какой из этих дней пройдет консультация. Однако, студентам не все равно, и они сами могут определиться с днем. Студенты подхватывают эту идею и предлагают проголосовать и выбрать ту альтернативу, которая нравится большинству студентов. Один из студентов говорит: «Давайте голосовать. Кто за пятницу?». Сколько-то человек поднимают руки. «Кто за субботу?» - еще сколько-то человек поднимают руки. В данном случае механизм агрегирования индивидуальных предпочтений, который использовали студенты, устроен совершенно отличным образом от механизма, использованного в первом диалоге.

Механизм общественного выбора

На самом деле, разных механизмов агрегирования интересов довольно много, и тогда вопрос, который встает перед дизайнером этих механизмов, очень простой: а какой механизм принятия решений выбрать?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нужно зафиксировать те свойства, которые мы хотим получить от придуманного механизма. Поэтому, как правило, сначала мы фиксируем желательные для себя свойства, а затем ищем те механизмы, которые этим свойствам удовлетворяют. Результаты, про которые мы сегодня будем говорить, построены как раз именно в рамках такой логики. Мы обсудим, почему, на самом деле, хороших механизмов, которые удовлетворяют желательным для нас свойствам, чрезвычайно мало.

Предположим, у нас есть набор из нескольких альтернатив. Обозначим этот набор через «A». Также у нас есть несколько агентов -  членов общества. Например, это все мы, кто находится в этой аудитории. У каждого из нас предпочтения могут быть устроены совершенно по-разному. Например, если мы обсуждаем тот же вопрос об открытом окне или о том, необходимо ли здесь выключить свет, у каждого из нас могут быть свои предпочтения.

Теперь нам нужно построить механизм агрегирования предпочтений.  Для этого мы фиксируем несколько свойств, которые мы хотим получить от этого механизма, и после этого отвечаем на вопрос, существуют ли подходящие для нас способы агрегирования индивидуальных предпочтений.

Механизм заранее не знает, каким будет результат голосования, он не понимает предпочтения членов общества. Поэтому, когда мы говорим слова «механизм общественного выбора», мы понимаем это как такой универсальный черный ящик, в который каждый из агентов подает набор из своих предпочтений, и он перерабатывает эти личные предпочтения, а на выходе выдает общественные. Устройство этого черного ящика и определяет механизм выборов, механизм агрегирования предпочтений. Этому внутреннему устройству ящика и посвящена наша сегодняшняя лекция.

Задача двух альтернатив

Результаты агрегирования интересов, о которых мы сегодня будем говорить, можно разделить в зависимости от того, сколько альтернатив у нас есть, и из скольких альтернатив мы выбираем. Оказывается, есть принципиальные качественные различия в задаче выбора из двух альтернатив и в задаче выбора из нескольких (больше двух) альтернатив.

Начнем с задачи выбора из двух альтернатив. Давайте рассмотрим несколько примеров.

Совбез ООН: решения и вето

Первый механизм, который я хотел бы сегодня обсудить, это механизм голосования в Совете безопасности ООН.

Как устроен Совет безопасности ООН и для чего он нужен? Он принимает решения, касающиеся вопросов международной безопасности, и все члены Организации Объединенных Наций берут на себя обязательства соблюдать его решения и резолюции. Совбез состоит из 15 членов, из них 5 являются постоянными и 10 – непостоянными. К постоянным членам относятся Россия, Соединенные Штаты, Великобритания, Франция и Китай. Непостоянные члены меняются каждые два года. Раз в год проходят перевыборы 5 членов. Соответственно, за цикл из двух лет полностью меняется состав непостоянных членов Совета безопасности.

Мандат постоянного члена Совета безопасности ООН отличается от мандата непостоянного члена одной важной вещью, которая называется «право вето». Если кто-то из постоянных членов Совета безопасности не согласен с предлагаемой резолюцией, то он имеет право наложить на нее вето. И это означает, что, независимо от того, какими будут голоса всех остальных членов Совета безопасности, резолюция будет отклонена. Формально наложение вето и голосование против – не одно и тоже. Теоретически, постоянный член Совета безопасности может предупредить, что, несмотря на то, что он голосует против, он не накладывает вето. Но для простоты рассуждений давайте считать, что в случае, если постоянный член Совета безопасности против, то он автоматически использует свое право вето.

Для принятия любой резолюции необходимо выполнение двух условий. Во-первых, нужно, чтобы ни один из постоянных членов Совета безопасности не наложил право вето. А во-вторых, нужно, чтобы за резолюцию проголосовало две трети – 9 из 15 членов.

В итоге, можно увидеть, что подавляющее число резолюций, которые доходят до голосования, принимаются единогласно. Почему это так? Это ровно потому, что Совет безопасности маленький, у пяти членов Совета безопасности есть право вето, и, если заранее понятно, что один из этих пяти членов собирается использовать это право, то резолюция не будет принята. Поэтому на стадии предварительных обсуждений проходит вся основная работа по согласованию основных положений, и на само голосование резолюция выносится только в том случае, если понятно, что у нее есть хорошие шансы на ее утверждение.

За последнее время ветируется, как правило, не более, чем 2 решения в год. Это те случаи, в которых, несмотря на то, что все заранее понимали, что будет наложено вето одной из сторон, с политической точки зрения, инициаторы считали, что выгоднее вынести вопрос на обсуждение для того, чтобы этим самым зафиксировать свою позицию и вынудить зафиксировать позицию той страны, которая собирается вето наложить.

Стоимость вето

Какая страна чаще всего накладывала право вето за всю историю? Советский Союз. А реже всего, как это ни удивительно – Китай. Россия накладывает вето не так часто, как СССР, однако, последние случаи на графике – это как раз случаи, заветированные Российской Федерацией. Cтоимость права вето такова, что перед вынесением вопроса на голосование все вынуждены фактически согласовать этот вопрос со всеми постоянными членами Совета безопасности, что создает одну важную проблему. Две группы членов Совета безопасности фактически неравноценны между собой. При таком механизме голосования возможны нежелательные для дизайнера этого механизма исходы. Если мы абстрагируемся от тех политических целей, которые представляло собой создание Совета безопасности ООН и начнем думать опять в категориях ситуации с окном из первого рассмотренного нами кейса, то хотим ли мы или нет, чтобы у некоторых из нас были большие права при принятии решения, чем у других?

На этот вопрос и нужно ответить дизайнеру механизма принятия решений. С одной стороны, вроде бы, нет никаких оснований для того, чтобы первому ряду здесь давать больше прав, чем всем остальным. С другой стороны, может быть, те, кто сидят у окна, действительно, являются в каком-то смысле держателем процесса и требуют этого самого права вето на возможность принятия решения об открытии окна. Дизайнер механизма принятия решений определяет, наделять или не наделять кого-то правом вето.

Свойство анонимности

С описанном выше вопросом связано первое свойство, о котором мы сегодня поговорим ̶ свойство анонимности. Оно звучит следующим образом: механизм выбора той или иной альтернативы обладает свойством анонимности, если при любой перестановке голосов результат голосования не изменится.

Механизм голосования в Совете безопасности ООН не является анонимным с этой точки зрения, потому что, если, например, представить ситуацию, при которой 12 членов голосуют «за», а 3 ̶ «против», и среди первых 12 – все 5 постоянных членов Совета безопасности, то резолюция будет принята. Если же мы переставим голоса, и будет хотя бы один из этих трех, которые «против», постоянным членом Совета безопасности, то итоговым решением будет «резолюцию отклонить». Поэтому этот механизм свойством анонимности не обладает.

Тем не менее, в обычной жизни свойство анонимности – одно из самых важных, на которые дизайнеры механизмов ориентируются. Как правило, при коллективном принятии решения оно является крайне желательным.

Неравенство в Госдуме

Из Совета безопасности ООН давайте перенесемся в Государственную Думу Российской Федерации. Здесь на повестке дня стоит вопрос о внесении изменения в Конституцию. Чтобы принять решение по такому вопросу, нужно набрать 2/3 голосов от общего количества депутатов. Соответственно, если есть 450 депутатов в Думе, то нужно набрать больше 300 голосов. Ни у кого в Государственной Думе нет права вето. Я имею в виду, ни у кого из индивидуальных членов.

Если рассмотреть игру, в которой у нас есть парламентские фракции, а у них существуют какие-то свои предпочтения на множестве альтернатив, то это будет совершенно отличная от описанной выше игра с нескольким числом игроков. У той партии, которая обладает более, чем половиной голосов, естественно, есть право вето. Тем не менее, если представить, что у нас голосование среди всех депутатов проходит независимо, то права вето ни у какого одного депутата нет.

Главный вопрос: обладает ли такой механизм голосования свойством анонимности? Да, обладает. Тем не менее, с ним есть ряд других проблем. Например, альтернативы, которые выносятся на голосование, конкурируют между собой не на равных основаниях.

Если мы предлагаем какую-то реформу, которая требует для утверждения 2/3 голосов от числа депутатов, то для того чтобы проголосовать за этот законопроект, нужно набрать больше, чем для того, чтобы этот законопроект был отклонен. Представим, что за одну ночь предпочтения всех депутатов поменялись на противоположные. Означает ли это, что результат голосования тоже изменится на противоположный? Не обязательно. Если у нас есть 450 депутатов, и из них 270 за эту реформу, а 180 против, то тогда при внесении такой альтернативы, она утверждена не будет, законопроект провалится. Но если мы поменяем предпочтения всех депутатов на противоположные, тогда против будет 270, за будет 180 – и тем не менее, все равно результат голосования не поменяется на противоположный. Законопроект снова будет отклонен.

Данный факт подчеркивает второе свойство, о котором мы сегодня говорим. Это свойство нейтральности к альтернативам, которое часто требуют от механизма агрегирования предпочтений.

Свойство нейтральности к альтернативам

Формальное определение свойства неравенства к альтернативам таково: говорят, что механизм принятия решений обладает этим свойством, если при изменении предпочтений всех агентов на противоположные результат голосования тоже изменяется на противоположный. Те механизмы, о которых мы сегодня поговорили до этого, этому свойству не удовлетворяют – ни голосование в Госдуме, ни голосования в Совете безопасности ООН.

А какие механизмы удовлетворяют свойству нейтральности к альтернативам? Например, это выборы президента Соединенных Штатов. Прежде чем проиллюстрировать то, как это правило работает в этом случае, давайте немного вспомним американскую политическую систему. Сейчас весь мир следит за праймериз в Республиканской и в Демократической партиях. На этих предварительных выборах происходит номинация кандидатов от этих партий, и кандидаты будут соперничать на всенародном голосовании 8 ноября 2016 года. Но, на самом деле, избиратели, которые будут приходить на избирательные участки 8 ноября, будут голосовать не за кандидата – а, фактически, за список выборщиков, который предложен той или иной партией. Несмотря на то, что независимые кандидаты также имеют право выдвижения на пост кандидата в президенты США, последний раз независимый кандидат побеждал в 1796 году. Это был Джон Адамс.

pagebreak

Кроме того, помимо республиканцев и демократов, в Соединенных Штатах есть много других партий, и они тоже имеют право номинировать своего кандидата на пост президента страны и у них тоже проходят праймериз. Но, как правило, они тоже не успешны. Последний раз представитель партии вигов Закари Тейлор побеждал на выборах президента США в 1848 году. Правда, последним не республиканцем и не демократом, который был на посту президента США, был не он, а Миллард Филлмор – еще один представитель партии Вигов, который сменил Закари Тейлора на этом посту после его смерти. После него президентов, не аффилированных с Республиканской или с Демократической партией, уже не было.

Поэтому можно считать, что на выборах 8 ноября 2016 года будут конкурировать два кандидата – представитель Республиканской и представитель Демократической партий США. С большой долей вероятности можно предположить, что это будут Хиллари Клинтон и Дональд Трамп. Если Хиллари Клинтон уже практически на 99% гарантировала себе номинацию, то с Дональдом Трампом есть определенные сложности, пока до конца не понятно, наберет он необходимое число голосов или не наберет. Ему нужно собрать более половины голосов всех выборщиков для того чтобы быть номинированным партией. Но кандидатов, претендующих на номинацию много, и, несмотря на то, что Дональд Трамп занимает сейчас первое место по количеству выборщиков, которые готовы отдать за него свой голос, непонятно, преодолеет ли он гарантированный порог в 50%. Если преодолеет, тогда он будет номинирован. Если нет, то возможны разные технические сложности. Например, партия не обязана будет номинировать того кандидата, который набрал наибольшее число голосов, и можно будет выдвинуть других номинантов. Последний раз такое было тоже довольно давно. Но по котировкам всех букмекерских контор, Дональд Трамп является фаворитом и все-таки с большей вероятностью будет номинирован.

Американская выборные процедуры

Как будет устроена эта процедура голосования? Для того чтобы понять ее свойства, давайте для начала коротко напомним, как она устроена. Как уже было сказано выше, президента будут выбирать не непосредственно жители Соединенных Штатов, а выборщики. Каждый штат обладает своим числом выборщиков, и это число определено по переписи населения, которая была проведена в 2010 году. Количество выборщиков, как правило, пропорционально количеству населения в штате. Исключения сделаны для штатов с наименьшим числом жителей. Каждый штат имеет гарантированное число в 3 выборщика. Поэтому, на самом деле, вес голоса жителя, например, штата Северная Дакота, оказывается выше на всенародном голосовании, чем вес голоса жителя Калифорнии, в которой 55 выборщиков.

Что произойдет дальше? В каждом штате по итогам голосования 8 ноября будет определено, за кого выборщики будут голосовать на выборах президента. И почти во всех штатах, выборщики будут голосовать единогласно. Исключение возможно только в штатах Небраска и Мэн, где теоретически может произойти разделение выборщиков между несколькими кандидатами. Часть выборщиков должна проголосовать в зависимости от результатов выборов по всему штату, а часть выборщиков голосует в зависимости от результатов выборов по отдельным территориальным единицам внутри штата. Может произойти так, что на одной территориальной единице победит один кандидат, в целом по штату победит другой кандидат, и тогда произойдет это разделение. Тем не менее, и это тоже очень редкое событие.

Поэтому можно считать, что все выборщики будут голосовать целиком и полностью за того кандидата, по списку которого они и были избраны. Случаи отклонения от наказа избирателей проголосовать за того или иного кандидата встречаются, но, опять же, очень и очень редко. А в некоторых штатах это считается уголовным преступлением.

В итоге, тот кандидат, который наберет на этом голосовании коллегии выборщиков большее число выборщиков, и будет объявлен президентом Соединенных Штатов.

Цена одного американского голоса

Какая есть проблема с таким голосованием? Во-первых, как мы поняли уже, этот механизм не обладает свойством анонимности, потому что вес голоса жителя Северной Дакоты выше, чем вес голоса жителя Калифорнии. Это означает, что если поменять местами избирательные бюллетени между штатами, то результат выборов может измениться.

Второе свойство, которое мы рассматривали – свойство нейтральности к альтернативам: для такого механизма избрания президента, очевидно, выполняется. Потому что, если поменять на противоположные предпочтения всех избирателей, то и результат выборов изменится на противоположный – президентом будет избран, соответственно, противоположный, второй кандидат.

Однако, это не все. Есть еще одна проблема с голосованием в коллегии выборщиков. Представьте себе, что у нас произошла ничья и на этом голосовании за президента голоса выборщиков разделились пополам. В США существуют формальные процедуры, которые описывают, что делать в этом случае – там слово принадлежит Сенату. Но давайте в этой ситуации попытаемся представить мысли обычного гражданина США: я не пошел на выборы, хотя мог бы пойти, проголосовать за наиболее предпочтительного мне кандидата, и в ситуации ничьи мой голос бы и решил исход этих выборов.

Может ли один дополнительный голос жителя США перевесить чашу весов в ту или иную сторону. И здесь снова возникает некоторая странность.

Свойство положительной отзывчивости

Рассмотрим избирателя, который является сторонником кандидата X. Если он проживает в штате, в котором и так победил кандидат X, то этот избиратель ничего дополнительно изменить уже не может. А если мы представим такого сторонника кандидата X, который живет в штате, в котором победил кандидат Y, то его голос изменит ситуацию.

Это свойство избирательной системы, пожалуй, самое сложное из всех трех свойств, называется свойством положительной отзывчивости. Считают, что механизм принятия решений обладает свойством положительной отзывчивости, если у нас состоялось голосование, случилась ничья или побеждает первая альтернатива, и потом один из избирателей решил отклониться еще в пользу первой альтернативы, и в этом случае чаша весов должна окончательно склониться в пользу первого кандидата.

Если механизм голосования обладает этим свойством, т.е. в случае ничьей или победы первого кандидата любой дополнительный голос в пользу первого кандидата будет однозначно свидетельствовать дальше о победе первого кандидата, то говорят, что этот способ выборов удовлетворяет свойству положительной отзывчивости. К выполнению этого свойства также всегда стремятся дизайнеры механизма принятия решений. Все мы хотим понимать, что делать в случае ничьих, стремимся, чтобы правило агрегирования предпочтений было монотонным, т.е. с ростом числа голосов результат не должен ухудшаться. Поэтому свойство положительной отзывчивости также называют свойством монотонности. Механизм голосования за президента США, этим третьим свойством не обладает.

Таким образом, ни один из рассмотренных нами механизмов голосования (в Совете безопасности ООН, Госдуме и на выборах президента США) не обладает всеми тремя свойствами сразу.

Единственный механизм

Случайно это или не случайно? Механизмов выборов одной альтернативы из двух, которые бы удовлетворяли сразу и свойству анонимности, и свойству нейтральности к альтернативам, и свойству монотонности, очень мало. Он, на самом деле, один –  голосование большинством.

Такой тип голосования очень прост: побеждает та альтернатива, которая набрала больше голосов «за». Легко проверить, что такой механизм выбора анонимен: если мы переставим наши голоса, то общее число голосов не изменится. Такой механизм выбора нейтрален к альтернативам: если мы поменяем предпочтения всех на противоположные, то и результат, очевидно, изменится на противоположный. И такой способ выборов обладает свойством положительной отзывчивости, потому что, если у нас сейчас ничья или побеждает первый кандидат, то любой дополнительный голос в пользу первого кандидата точно совершенно обрушит чашу весов в пользу первого кандидата. Значит, голосование большинством удовлетворяет всем этим трем свойствам.

Американский математик Кеннет Мэй в 1952 году впервые показал, что голосование большинством – единственный способ агрегирования общественных предпочтений, который всем этим трем свойствам удовлетворяет.

Хорошо это или плохо?

С одной стороны, это плохо, потому что это ограничивает фантазию дизайнера этих механизмов. Если мы стремимся получить эти три крайне желательных свойства, то у нас нет ничего лучшего, кроме как объявить голосование большинством. Если вдруг по каким-то другим причинам этот способ нас не устраивает, то нам придется, возможно, отказываться от какого-то из этих свойств. Тогда другие механизмы могут стать для нас более привлекательными.

В данном случае голосование большинством подразумевает  относительное большинство. Т.е. ситуацию, когда одна альтернатива набрала больше другой альтернативы, даже если есть много воздержавшихся, для которых обе альтернативы эквивалентны. Например, в ситуации, когда 2 человека, против того, чтобы открыть окно, 1 человек - за, и 90 людям нет разницы, тогда побеждает альтернатива открыть окно.

Таким образом, нет ничего лучшего, чем обычное голосование большинством. В каком-то смысле это важный философский результат, который позволяет осмыслить и понять, почему те системы голосования, которые реально используются в политическом процессе, как правило, построены именно на голосовании большинством.

Когда есть больше двух альтернатив

Качественный переход от двух альтернатив к большему числу несет в себе и содержательные изменения, с точки зрения дизайна механизмов по агрегированию общественных предпочтений.

Давайте снова рассмотрим конкретный пример. Если у нас есть две альтернативы, то у каждого отдельного агента может быть всего три вида предпочтений. Я могу считать, что мне окно лучше открытое, чем закрытое, могу наоборот или мне может быть все равно. Соответственно, если альтернатив больше двух, то число разных комбинаций моих предпочтений существенно увеличивается, а значит,  существенно больше становится и разных способов агрегирования этих предпочтений.

С одной стороны, мы можем тогда задаться вопросом, появятся ли в случае нескольких альтернатив другие, «хорошие» способы агрегирования интересов? С другой стороны, и количество требований, которые мы будем накладывать на голосование, тоже будет больше.

Давайте поймем, какие свойства мы хотим получить в случае, если у нас есть много альтернатив. Для этого необходимо обсудить еще один пример – голосование на Евровидении.

Единогласие на Евровидении

Евровидение – это конкурс популярной песни, который устроен следующим образом.  Есть некоторое количество участников, они сначала проходят отбор в полуфиналах, и к финалу остается примерно 25 конкурсантов. В финале артисты по очереди исполняют свои песни, а после этого начинается, на мой взгляд, самая интересная часть конкурса, когда страны по очереди выставляют свои оценки за прослушанные песни. Длится эта часть не меньше, чем само выступление артистов.

Подсчет голосов до 2016 года был устроен так: каждая страна ранжировала финалистов и одной из стран выставляла первое место и давала 12 очков, другой присуждала второе место и 10 очков, третьей стране - 8 очков, и т.д. Таким образом, каждая страна выбирает 10 лучших песен и им дает указанное количество баллов, а остальным странам ставит ноль. После того, как все страны выступили и раздали эти баллы, считается сумма, и в итоге все артисты ранжируются по количеству набранных баллов.

С такой системой есть несколько проблем. Во-первых, давайте представим, что все участники конкурса считают, что песня из страны А - 15-я по нашим предпочтениям, а песня из страны Б – 16-я. Т.е. все считают, что А лучше, чем Б. Но и А и Б находятся вне призовой зоны, то есть вне зоны баллов для каждой из стран. Тогда и А, и Б наберут на этом конкурсе ровно 0 баллов. Но, тем не менее, странно: все считают, что А лучше, чем Б, а в итоговом протоколе они будут находиться на одной строчке.

Это означает, что такой механизм принятия решений не обладает свойством единогласия. Более строгое определение этого свойства  звучит так. Говорят, что механизм принятия решений обладает свойством единогласия, если из того, что для всех агентов альтернатива X строго лучше, чем альтернатива Y, следует, что и для всего общества альтернатива X лучше, чем альтернатива Y.

Свойство единогласия, конечно, очень и очень желательно для дизайнера механизмов. Крайне странно видеть систему, при которой все считают, что одна альтернатива лучше другой, а в результате подсчета голосов первая оказывается не лучше второй.

Зависимость от посторонних

Допустим, существуют две страны X и Y, которые сейчас голосуют, и у них предпочтения между песнями из стран А и Б устроены следующим образом. В стране X песня из страны А набрала 12 баллов, песня из страны Б набрала 10 баллов. В стране Y песня из страны Б набрала 12 баллов, из страны А – 8 баллов. Тогда, если мы предположим, что во всех остальных странах предпочтения одинаковы на множестве песен из стран А и Б, то тогда песня Б наберет больше баллов, чем песня А, а значит, займет более высокое место. Однако давайте представим, что предпочтения в странах X и Y изменились. Но изменились они не относительно песен А и Б – по-прежнему в стране X песня А набирает больше баллов, чем песня Б, а в стране Y песня Б набирает больше баллов, чем песня А. Но теперь в стране Y предпочтения изменились таким образом, что несколько других песен поднялись выше.

Тогда у песен из страны Б и из страны А изменилось количество баллов, которые дала им страна Y. Но от этого поменялся и общий результат голосования. Сумма теперь будет в пользу А. смотрите, что произошло: несмотря на то, что ни одна из стран не изменила свои предпочтения на множестве песен из А и Б, результат голосования изменился на противоположный. Это означает, что этот механизм голосования не обладает свойством независимости от посторонних альтернатив.

Формально говорят, что механизм принятия решений обладает свойством независимости от посторонних альтернатив, если итоговое ранжирование двух стран не зависит от положения всех остальных альтернатив в этой цепочке предпочтений.

Данное свойство также крайне желательно для дизайна любого механизма голосования. Почему? Представим себе девушку, которая приходит в магазин покупать шляпку. Продавец ей говорит: «У нас есть красная и синяя». Девушка говорит: «Конечно, красную». Продавец идет, уже было приносит красную шляпку, но в этот момент он вспоминает, что есть еще и желтые. Он говорит: «Знаете, у нас есть еще и желтые». И тогда девушка говорит: «А давайте синюю». Это означает, что предпочтения девушки не обладают свойствами независимости от посторонних альтернатив, т.е. они устроены не так, как нам хотелось бы.

С механизмом голосования на Евровидении та же проблема. Мнение относительно никак не связанных с А и Б альтернатив повлияли на отношения между А и Б.

Только условно «хороший» механизм

Однако «хороших» механизмов агрегирования общественных предпочтений, которые бы удовлетворяли этим двум свойствам (свойству единогласия и свойству независимости от посторонних альтернатив) не так много. Он один, и вопрос в том хороший он или нет – нетривиален. Это диктаторский механизм агрегирования предпочтений, т.е. когда в качестве общественных предпочтений выбирают просто предпочтения одного из агентов. Например, не важно, что вы думаете про открытое окно, решать, будет оно открыто или нет, буду я.

Кеннет Эрроу в 1950 году доказал, что, если механизм агрегирования общественных предпочтений обладает свойствами единогласия и независимости от посторонних альтернатив, то он является диктаторским. Иными словами, в случае трех и больше альтернатив существует всего один-единственный механизм агрегирования предпочтений, который только условно может быть назван «хорошим».

Данный факт также является большой философской проблемой для дизайнера механизмов. Не получится придумать ничего хорошего. Поэтому организатору конкурса Евровидение в каком-то смысле приходится выбирать, от каких свойств отказываться, а какие свойства все-таки оставить.

На мой взгляд, Теорема Эрроу является таким логическим завершением не только этой лекции, но и всего цикла лекций по экономике общественного выбора, поскольку полученное с помощью нее доказательство – один из  самых красивых и самостоятельных результатов, которые были получены в экономической теории.

Вопросы

Вопрос: Спасибо за лекцию. Вопрос следующий. Наверное, самым лучшим вариантом является общественное голосование, т.е. ситуация, когда голосуют все. Но вопрос в том, о чем голосуют. Если мы все соберемся и решим кого-то одного казнить. Для этого одного вопрос нашего голосования очень важен. А как учитывать мнение одного в этом большом процессе? Как учитывать права меньшинств? Спасибо.

Дмитрий Дагаев: На самом деле, при такой постановке вопроса важны мнения одинаково каждого из участников, потому что каждый из них может остаться этим самым одним. Здесь все зависит от того, какой вопрос на голосование вы ставите. Если вы выносите вопрос на голосование: «Давайте выберем одного из нас, которого точно сегодня будут казнить?» – это одна постановка вопроса. Если вы говорите: «Давайте мы скинемся на миллион рублей Ивану Иванову?». Для этого единственного гражданина вопрос будет очень важным, но эта важность разная. При первой постановке вопроса, когда мы определяем, кого одного из нас мы будем выбирать, и при второй постановке вопроса, когда мы рассмотрим конкретного Ивана Иванова или вообще меня. Если я дизайнер такого механизма, то, естественно, я буду настаивать на учете моего мнения. Я вообще диктаторскую функцию выберу в качестве механизма голосования и скажу «конечно, давайте». Тогда мнение будет учтено.

Таким образом, здесь, опять же, вопрос к дизайнеру механизмов. Если он хочет максимизировать какое-то общественное благосостояние, то он выберет одну систему. Если, чтобы были учтены права той или иной группы интересов, будет выбрана другая система. Естественно, дизайнер механизма продумывает, что будет в результате имплементации его механизма.

И тут, на самом деле, есть еще одна проблема. Мы про нее сегодня не успели поговорить, но это также интересный вопрос. Многие системы обладают еще одним недостатком – они являются манипулируемыми, т.е. кому-то может быть выгодно проголосовать стратегически. Например, представьте, что мы голосуем по вопросу о том, дать ли мне миллион рублей, и я, скажем, договорюсь с теми, кто сидит в первом ряду, что, если они приведут по 10 человек, которые проголосуют за эту альтернативу, то я поделюсь определенной суммой из этого миллиона с ними. В таком случае предпочтения агентов могут быть искажены. Насколько манипулируема может быть та или иная система – это тоже вопрос, который надо принимать во внимание при выборе механизма голосования. Поэтому, еще раз, отвечая на ваш первый вопрос – все зависит от желаемых свойств.

Вопрос: Проблема медианного избирателя возникает в том случае, когда есть два противоборствующих лагеря, и для одного, и для другого очень важно, какое будет решение принято. И есть еще определенное количество абсолютно нейтральных людей. И получается так, что именно от них зависит исход голосования. Что вы думаете об этой проблеме?

Дмитрий Дагаев: Давайте уточним модель, в которой мы находимся. Если у нас предпочтения всех зафиксированы, и позиции кандидатов по тому или иному вопросу зафиксированы, то результат голосования, действительно, будет определяться теми, кто занимает медианную позицию. Если вы все, скажем, политические позиции расположите вдоль какого-то одномерного политического спектра, и у вас будет два соперничающих на выборах кандидата, при этом жители, которые расположены вдоль этого политического спектра представляют ту или иную позицию на нем, то, действительно, что произойдет?

Каждый проголосует за того кандидата, который находится ближе к его точке зрения, поэтому все определится тем, какой из кандидатов ближе к позиции медианного избирателя – да. Но! Если мы теперь открепим наших кандидатов, и их позиции перестанут быть фиксированными, то произойдет следующее: в равновесии каждому из них будет выгодно смещаться в сторону медианного избирателя. Это означает, что, объявляя предвыборную программу, каждый из них будет смещаться, стараясь максимизировать количество голосов, которые он получит, в пользу медианного избирателя. Это объясняет, например, почему на всех выборах из двух кандидатов кандидаты стараются занять как можно более центристскую позицию.

Если мы вспомним выборы 1996 года, когда во второй тур прошли Ельцин и Зюганов, оба кандидата старались сместить свою риторику в пользу центристской позиции – это можно очень хорошо просто проследить по интервью.

Свойство медианного избирателя в каком-то смысле является данностью, таким же экономическим законом, как существуют какие-то физические законы. Но его можно использовать для того, чтобы создать или разработать более оптимальную избирательную систему. Кстати, очень важный момент, если у нас кандидатов больше, чем два, то тогда от медианного избирателя уже мало что зависит. Тогда равновесия могут быть уже какими-то совершенно другими.

Вопрос: Мы рассмотрели ситуацию выбора, когда один победитель из двух кандидатов, рассмотрели ситуацию, когда один победитель из нескольких кандидатов. Есть ли какие-то особенности у избирательных систем, когда нужно выбрать, например, трех победителей из пяти кандидатов?

Дмитрий Дагаев:  Действительно, интересный вопрос. Но оказывается, что теоретические результаты, которые мы получили, очень часто легко переносятся и на этот случай. Оказывается, что, как в случае, когда мы выбираем лишь одну альтернативу, так и здесь не существует хороших не манипулируемых механизмов. Не манипулируемых в том смысле, что никому не будет выгодно голосовать стратегически, а не отражать свои настоящие предпочтения. Как не существует хороших механизмов в случае, когда мы выбираем одну альтернативу – об этом нам говорит теорема Гиббарда-Саттертуэйта, так и не существует хорошего, не манипулируемого механизма, когда мы выбираем несколько альтернатив

Вопрос: Какова специфика голосования в несколько туров, когда, скажем, альтернатива, набравшая наименьшее количество голосов, исключается, и круг альтернатив сужается.  И так несколько раз. Скажите, пожалуйста, в таком случае голосования в несколько туров эти характеристики единогласия и независимости как-то изменяются?

Дмитрий Дагаев:  Если бы было чуть больше времени, то мы бы, конечно, обсудили и такую систему, потому что это одна из моих любимых тем. На самом деле, если вы посмотрите на выборы президента ФИФА, которые проходили не так давно, то выборы проходили ровно по такой системе, когда у нас сначала было несколько – 5, по-моему – кандидатов, потом, после первого тура, когда никто не смог набрать необходимое число голосов, один из них был исключен из списков. И дальше голосовали уже на меньшем количестве кандидатов. Или, например, выборы страны, в которой пройдет чемпионат мира по футболу – они тоже устроены также.

Какая специфика у таких систем? Она связана с тем, что происходит постепенное выявление информации. После первого тура может стать понятно, что какая-то из альтернатив не имеет шансов на победу. Например, оказалось, что А набрало 60 голосов,  B - 50 голосов, С – 10, D – 5. Тогда очевидно, например, если D будет исключена, что C все равно не сможет стать победителем. Тогда те, кто голосовал в первом туре за C, могут посчитать для себя стратегически более выгодным во втором туре отдать свой голос не за C, а за, скажем, вторую по предпочтительности для себя альтернативу – за B, чтобы помочь в результате этого альтернативе B «перескочить» через альтернативу А и победить. Получается, что особенностью такого потурового выбора является возможность учета выявляемой информации в ходе голосования. И, соответственно, более широкая возможность для стратегического принятия решений.

Вопрос: У меня продолжение этого вопроса. Какой бы лучше был метод – многотуровое голосование или, например, методы какие-нибудь мягкого ранжирования, когда вы присваиваете какие-то баллы условно кандидатам?

Дмитрий Дагаев:  Опять вопрос упирается в то, что такое «лучше». Весь лейтмотив сегодняшней лекции был про то. Что мы сначала должны зафиксировать, что мы считаем «лучше», то есть что мы считаем необходимым для дизайнера механизмов. Например, как в случае с выбором из двух альтернатив мы сказали, что мы очень хотим, чтобы механизм обладал свойствами нейтральности к альтернативам, положительной отзывчивости и анонимности. В результате этого мы тогда сказали, что самым лучшим механизмом является голосование большинством

Но мы могли выбрать и другой набор свойств в качестве предпочтительных. Например, свойство такое: очень важно учесть мое мнение. Тогда самым лучшим механизмом голосования, с этой точки зрения, была бы диктаторская функция. Поэтому, опять же, если формально следовать логике этой задачи, то сначала фиксируем свойства, а потом я смогу ответить на ваш вопрос, какая из схем лучше. Проверим, какой механизм обладает этим набором свойств, а какой не обладает. Тот, который обладает, тот и будет лучше.