«Математика могла бы учить человека жизни»: интервью с профессором Алексеем Семеновым
Алексей Львович Семенов — специалист в области математической логики, кибернетики, теоретической информатики. Преподавал в математической школе № 7 в Москве, в Колмогоровском интернате при МГУ имени М. В. Ломоносова, на механико-математическом факультете МГУ. Был ректором Московского института открытого образования, Московского педагогического государственного университета, главным редактором журналов «Квант» и «Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления». Заведует кафедрой математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета МГУ и лабораторией инженерии знаний Института математических исследований сложных систем МГУ, а также возглавляет Институт кибернетики и образовательной информатики имени А. И. Берга Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН. Руководит научно-методическим советом Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) по государственной итоговой аттестации по информатике, входит в научно-методический совет ФИПИ по ГИА по математике. Организатор разработки и соавтор первого отечественного школьного учебника по информатике, руководитель авторских коллективов учебников по математике и информатике для начальной и основной школы.
***
— В 2025 году термин «бакалавр» исчезнет из нашего обихода. Болонская система окончательно уйдет в прошлое, бакалавриат заменят на пятилетнее базовое высшее образование. Какой в этом смысл: сущностный или, скорее, политический — чтобы было не как в Европе?
— Конечно, здесь есть и политическая, в частности популистская, составляющая. Но с профессиональной точки зрения изменение содержательное. Я ничего не понимаю в обучении, скажем, медиков, но допускаю, что подготовка квалифицированного практикующего врача действительно может потребовать семь лет и более. А вот про будущих учителей математики могу рассуждать с большей уверенностью. Пять лет на их подготовку расходуются крайне неэффективно.
Переход на пятилетнюю систему поддерживается традиционными вузами: для них это сущностный возврат к старому доброму советскому. Среди заведующих кафедрами и деканов все еще много людей, которые учились и преподавали до введения Болонской системы. Напомню, что в России, в отличие от многих стран, руководители вузов могут занимать пост до 70 лет, а для профессорско-преподавательского состава, деканов, заведующих кафедрами возрастной предел и вовсе не установлен.
Российские работодатели старшего поколения также могут позитивно воспринимать возвращение к прежней системе, хотя, конечно, многое зависит от отрасли. Зарубежным работодателям будет сложнее понять, что такое общее высшее образование и как оно соотносится, например, с бакалавриатом.
— Вы сказали, образование учителей математики устроено неэффективно. Почему? И как, с вашей точки зрения, оно должно быть организовано?
— В бытность ректором МПГУ я решил с помощью профессоров-математиков оценить результаты обучения в нашем вузе. Оказалось, что студенты, когда выпускались из школы, сдавали ЕГЭ, условно говоря, на четверку, а после учебы у нас — на тройку. На вопрос, почему так происходит, профессора ответили: «Мы не учим решать школьные задачи — мы преподаем серьезную математику».
Курс математики в педагогическом вузе — это ослабленный вариант курса мехмата классического университета. Средний студент педвуза зачастую осваивает его на двойку, а дальше путем списывания, зазубривания или благодаря расположению экзаменатора получает тройку, четверку, иногда пятерку.
Но если подумать, зачем будущему учителю нужна эта недоученная высшая математика? Очевидно, что он должен в первую очередь уметь решать школьные задачи разной степени сложности. Пусть он в этом дойдет до того уровня изобретательности, который будет для него высоким, но посильным. Если он будет решать сложные олимпиадные задачи, то сможет работать в математической спецшколе. А если доберется только до уровня 60–70 баллов ЕГЭ, пойдет в обычную районную или сельскую школу и там бережно, человечно будет заниматься образованием обычных детей, у которых не все получается. Попутно он будет сам решать более сложные задачи, добросовестно осваивать новые разделы математических курсов и профессионально совершенствоваться — то есть учиться всю жизнь вместе с детьми. Такой вариант — честный по отношению и к будущим учителям, и к их будущим ученикам.
— Сейчас поступление в вуз зависит от результатов ЕГЭ. Если бы так было и в ваше время, вам бы удалось поступить в МГУ?
— Судите сами. Сдавая вступительный экзамен на мехмат МГУ, я много времени потратил на выведение формулы площади сферического треугольника. Это нужно было для решения одной из сложных задач. Доказательства формулы я так и не получил, но ход рассуждений был правильный, и за письменную работу мне поставили четверку. На устной части экзаменаторы посмотрели эту работу и увидели, что я систематически использовал неправильную формулу корней квадратного уравнения, что для абитуриента мехмата непростительно. Но старший из двух экзаменаторов поставил мне пятерку за устную часть и исправил четверку за письменную на пятерку. Уже учась на мехмате, я узнал, что этим экзаменатором был знаменитый математик Владимир Игоревич Арнольд. Конечно, он заметил мою ошибку, но это не повлияло на его решение принять меня в МГУ.
— Но вы могли бы целенаправленно подготовиться к ЕГЭ, ведь сегодня многие это весьма успешно делают.
— Целенаправленно готовясь к ЕГЭ по математике, нужно улучшать результат простой части экзамена. Получаешь задачу — сразу понимаешь, как ее решать, записываешь ответ за 40 секунд. В итоге можешь рассчитывать на 92 балла. Не успеваешь действовать с такой скоростью — получаешь 80 и на бюджет в лучший вуз не проходишь. Разве это имеет какое-либо отношение к математике?
Еще один минус подготовки к ЕГЭ связан с тем, что его задачи очень похожи на те, которые дают в демонстрационном варианте осенью. Это существенно снижает качество изучения математики в 11-м классе и приводит к «натаскиванию». Математика сводится к скорости и безошибочности решения известных задач. Для XXI века это полный абсурд.
Рассуждая о приеме в вуз по результатам ЕГЭ, не стоит забывать одну деталь. Баллы, набранные по разным предметам, университет просто складывает. В этом трудно усмотреть логику: в такой ситуации среднестатистическому выпускнику выгоднее подтянуть русский до 85 баллов, чем математику — до олимпиадного уровня.
Разумно было бы, например, для абитуриентов Физтеха суммировать баллы по физике и математике. Если уж очень нужно учитывать русский язык, можно установить пороговое значение — добавлять реальное количество баллов, если оно не превышает, скажем, 70, а если превышает — прибавлять только 70. Можно разрешить вузам использовать собственные способы подсчета, главное — заранее о них объявлять.
— Последнее задание ЕГЭ по математике, по сути, олимпиадная задача. Такое устройство экзамена помогает отобрать лучших математиков?
— Вопрос в качестве этих задач и их разнообразии. Последняя задача не должна быть похожа на ту, которая была в прошлом году или в демонстрационных вариантах.
Я считаю, стоило бы создать общий открытый банк заданий ЕГЭ и наугад брать оттуда задачу на определенную тему и определенной категории сложности. Не надо всякий раз придумывать все заново — нужно иметь 100 000 обычных и 10 000 «олимпиадных» задач. Можно выбирать их наугад, но так, чтобы они не повторялись.
Если ребенок разобрался во всех задачах повышенной сложности из такого открытого банка и может воспроизвести решение по памяти, его точно стоит взять на мехмат. А если он видит задачу впервые и на месте придумывает, как ее решить, — тем более. Так может быть устроен ЕГЭ по математике.
— Как вы относитесь к элитарным матшколам, выпускники которых становятся призерами олимпиад и без ЕГЭ поступают в лучшие вузы?
— Я бы переформулировал вопрос, чтобы не фокусироваться на поступлении. Насколько полезно ребенку учиться в классе, в котором педагог так же любит решать задачи, как и большинство учеников, делает это хорошо и в состоянии научить этому? Чрезвычайно полезно. Не обязательно, чтобы все в классе были олимпиадниками. Важно, чтобы дети любили математику, еще важнее, чтобы им было интересно учиться. Дело не в абсолютной силе школьника, а в его интересе к предмету. Наличие таких оазисов, как матклассы и матшколы, — благо. Их должно быть столько, сколько требует население.
К отбору в матклассы нужно подходить с умом. Мне нравится система известного педагога-математика Николая Николаевича Константинова — меня учили по этой системе, а потом я учил по ней. Заключается она в следующем. Ребенок приходит в маткружок, где занимаются увлеченные дети и преподают увлеченные педагоги — студенты, будущие математики. Из этих детей постепенно формируется класс, где учителями работают те же студенты. На три четверти класс состоит из тех, кто ходил весь год в кружок, на четверть — из детей со стороны. С «посторонними» учитель отдельно общается два-три часа, чтобы определить, действительно ли они живут математикой или их родители за ручку привели.
— Есть ли у российской системы школьного математического образования особенности, которые отличают ее от зарубежных?
— Математическое образование в российских школах всегда было во многом ориентировано на решение задач. К сожалению, со временем эти задачи все больше отрывались от действительности. Европейское и американское образование предлагает детям задачи попроще, но более разнообразные в смысле моделирования реальности. Там популярна так называемая реальная математика, разработанная в Нидерландах. Этот подход используется и в международном исследовании PISA. А вот задачи в корейской и сингапурской школах могут быть существенно сложнее даже «профильных» российских.
Есть и более специфические, но при этом не менее важные национальные особенности. Например, за пределами России в школе — в том числе на экзаменах — считают с помощью компьютера и калькулятора. В России пользоваться этими устройствами запрещено даже при решении задач по статистике. В современном мире больших данных и статистических прогнозов трудно себе это представить.
Между тем еще в 1970-е годы известный математик Владимир Григорьевич Болтянский и член-корреспондент Академии педагогических наук Семен Исаакович Шварцбурд провели многолетнее исследование, чтобы изучить влияние калькулятора на результаты школьного математического образования. В итоге в 1982 году Минпросвет СССР выпустил методическое письмо, в котором рекомендовал на уроках математики в основной школе использовать калькуляторы. Этой рекомендацией мало кто воспользовался, в частности потому, что на экзамене калькуляторы и тогда были запрещены.
Когда я был председателем научно-методического совета ЕГЭ по математике, я боролся против этого запрета, но безуспешно. В прошлом году, когда председателем стал ректор Физтеха Дмитрий Викторович Ливанов, совет проголосовал за то, чтобы разрешить пользоваться калькуляторами на экзамене в 9-м классе. Но решение пришлось отменить: мол, «люди не поймут». Если опросить народ, большинство всегда скажет: «Ничего не трогайте, оставьте как было», — меньшинство: «Верните образование моего детства (или времен СССР, или дореволюционное)».
— Как бы вы определили основную задачу школьного математического образования? Подготовку к ЕГЭ мы, безусловно, оставляем за скобками.
— Сегодня в российских школах проходят математику, которая не имеет отношения ни к какой профессии. Основная цель современной школьной математики — научить быстро и безошибочно решать задачи, которые известно, как решать, и которые во взрослой жизни без компьютера никто не решает. Но реальная цель должна быть другой — чтобы каждый ребенок пытался решать посильные для себя задачи, которые «неизвестно-как-решать». Это важно для жизни в современном мире, потому что все мы постоянно сталкиваемся с такими задачами, и не только математическими.
Школьная математика — главный предмет, который мог бы учить человека жизни, ведь мир все больше состоит из задач, которые «неизвестно-как-решать». Наиболее важную часть школьной математики можно собрать из интересных и зачастую наглядных задач, гарантируя при этом индивидуальный уровень новизны для каждого ребенка. Главное — поддерживать этот уровень. Кстати, задачи такого типа существовали всегда. Например, задача про волка, козу и капусту есть в задачнике Алкуина VIII века.
Задача про волка, козу и капусту
Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. У крестьянина есть лодка, в которой может поместиться, кроме него самого, только один объект — или волк, или коза, или капуста. Если крестьянин оставит без присмотра волка с козой, то волк съест козу; если крестьянин оставит без присмотра козу с капустой, коза съест капусту. В присутствии крестьянина никто никого не ест. Как крестьянину перевезти на другой берег все и всех в целости и сохранности?
— Первоклассник или учительница начальной школы, получив эту задачку, пытаются решать ее, отправляя перевозчика с одним объектом на другой берег и изучая, что получается и что делать дальше. Это и есть настоящая исследовательская математика! В результате большинство детей и учителей (и людей вообще) находят решение методом проб и ошибок — главным математическим методом.
Вот еще одна знаменитая задачка: девять точек расположены на клетчатой бумаге на трех идущих подряд вертикалях и трех идущих подряд горизонталях. Надо, не отрывая карандаша, провести четыре прямые линии, чтобы они прошли через все девять точек. Если вы проделаете десятки экспериментов, вам может повезти и вы найдете решение. Но оно может очень долго и не находиться — понадобятся новые идеи. И это тоже математика. В ней, как и в жизни, есть задачи, столетиями не поддающиеся решению.
— Какие еще примеры задач, которые «неизвестно-как-решать», вы могли бы привести?
— Марк Иванович Башмаков, питерский математик, который, к сожалению, умер в 2022 году, придумал большую часть типов задач для олимпиады «Кенгуру». В ней с удовольствием участвует каждый четвертый ученик начальной школы России — и миллионы детей во всем мире. Эта олимпиада как раз и состоит из задач, которые «неизвестно-как-решать». Но хотя бы с одной задачей «Кенгуру», дающей три балла, каждый как-то да справится. Задачу на пять баллов решит человек пять из класса, может и меньше. И, вполне вероятно, найдется кто-то, кто решит все задачи на пять баллов.
В курсе математики и информатики, который мы создали больше 35 лет назад и учебники которого выдержали немало переизданий, есть много неожиданных задач. Ученику предлагается, например, изобрести то, что обычно дается для заучивания, — например, таблицу умножения. Чтобы создать ее, школьники рисуют на клетчатой бумаге прямоугольники и считают количество клеток в них. Получившиеся таблицы могут различаться, и это — повод для плодотворной дискуссии.
Дети также могут изобрести десятичную систему счисления. Для этого они объединяют резинками десятки спичек, а потом десяток десятков — в сотню. Договариваются, как записывать результат подсчета. Полученное изобретение можно применить на практике.
Поучительным и увлекательным занятием может стать оценка количества. Чтобы научить этому, скажем, учеников 2-го класса, можно насыпать фасоль в большую банку и предложить детям угадать, сколько в ней фасолин. Потом попросить пересчитать фасоль несколько раз, пользуясь разными стратегиями счета. Это позволит убедиться в том, что количество фасолин — объективный факт.
Кстати, еще одна из задач математики — учить ошибаться, то есть находить у себя ошибки и работать с ними.
— Если дети начнут изобретать собственные решения задач, у учителей не будет времени все это контролировать. Как, например, проверить 30 контрольных за один вечер?
— Не нужно, чтобы каждый изобретал свое решение. Так обычно и не бывает в математике. Творчество не в том, чтобы придумывать то, чего раньше не существовало или до чего никто не додумался, а в том, чтобы открыть что-то новое для себя. Все в классе найдут одно и то же решение задачи про волка, козу и капусту. Возможно, кто-то сочинит нечто экзотическое, например включит холостую перевозку, или еще как-то отличится. Тогда надо вместе с учеником подумать, есть ли более простой способ.
Дети, которые сами изобретают таблицу умножения, изобретают одно и то же. Шестью шесть — тридцать шесть, как ни крути. Но в процессе у них может получиться и тридцать восемь, и тридцать три. Нужно это обсудить с ребенком и дать ему понять, что, если аккуратно считать, всегда получается тридцать шесть. Это очень важный вывод, и хорошо бы прийти к нему самостоятельно.
— Как вы оцениваете университетское математическое образование? Насколько оно сегодня престижно?
— Математики в мире стало больше. Мы окружены цифровыми технологиями. Их разработка — это математика. Создание микросхем, как и программирование, — тоже математика.
И все же, как ни парадоксально, престижность изучения этого предмета во многих странах падает. Исключение — Азиатские тигры, в частности Корея. Там крестьянин, условно говоря, зарабатывает 5–10 долларов в месяц, инженер на заводе — 50–100, а сотрудник крупной международной хайтек-корпорации — 500–1000. Такой разрыв обеспечивает престижность математики. В Китае до определенного момента тоже активно изучали математику. Но постепенно число вузовских мест там увеличивалось, а рождаемость не росла, поэтому престижность этого предмета падает, как в странах Запада.
— А в России с какой целью люди получают фундаментальное математическое образование?
— Полученная на мехмате математическая квалификация, в частности умение решать совершенно новые задачи и понимать математические тексты, пригождается в разных областях — в финансах, биологии, ИТ. Основная масса выпускников идет именно в ИТ, и это нормально: математическое образование помогает, пусть и не кратчайшим путем, прийти в программирование.
— Считается, что у айтишников в России сегодня огромное преимущество перед представителями других профессий: ИТ-специалист не привязан к месту, обладает свободой, получает высокую зарплату. Вы наблюдаете бум ИТ?
— Конечно, и причин тому несколько. Во-первых, Россия настроилась на изоляцию от Европы и США, поэтому ей нужны собственные интеллектуальные ресурсы. Хотя, на мой взгляд, стремительно построить в стране со среднеразвитой промышленностью высокотехнологичное производство мирового уровня — задача намного более сложная, чем сталинская индустриализация с привлечением американских и немецких специалистов. Я участвовал в разработке последней советской супер-ЭВМ и понял: штучную вещь мы создать можем, а надежный персональный компьютер — нет. Хорошо работающие «Ямахи», которые появились в советских школах в 1980-х, на фоне обычно нефункционирующих отечественных персональных компьютеров стали для нас шоком. Пресловутое импортозамещение в этой области — просто идеология, рядом с которой многим выгодно кормиться.
Во-вторых, люди по разным причинам уезжают и ИТ действительно дает возможность работать удаленно. В-третьих, кому-то из айтишников в России предоставляют бронь. Все эти факторы одинаково связаны с общим изменением политического курса России.
Кроме того, в сфере ИТ активно развивается среднее профессиональное образование, которое можно получить и после 9-го, и после 11-го класса: учиться в университетах, где преподается масса теоретических дисциплин, хочет все меньше людей. Этому способствует и возвращение к пяти-шестилетнему вузовскому образованию: все стремятся получить специальность максимально быстро.